Matematica e antico Egitto – parte 5: le piramidi e la sezione aurea (introduzione)

di Stefano Sampietro
 

vitruvio

Come osservato la volta scorsa, la piramide di Cheope è nota per presentare una serie di corrispondenze tra le sue misure e alcune grandezze matematiche (pi greco, sezione aurea) e geografiche (lunghezza dell’equatore, distanza Terra Sole, ecc.).
Abbiamo trattato il caso del pi greco qui e qui, pervenendo in sostanza a una posizione che non nega la corrispondenza, ma la attribuisce a cause non intenzionali (teoria dell’uso del cosidetto “odometron”).
Oggi cominceremo invece a occuparci di un’altra famosa costante matematica: la sezione aurea.

La sezione aurea

La sezione aurea, solitamente indicata con la lettera greca “phi”, è definibile come il rapporto tra due parti di un segmento così costruito:

segmento_phi

Se le due lunghezze a (parte maggiore) e b (parte minore) sono tali per cui il rapporto tra la maggiore e la minore è uguale al rapporto tra la lunghezza totale del segmento e la maggiore:

a/b = (a+b) /a

allora, tale rapporto è la sezione aurea:

phi = a/b = (a+b) /a = 1.618

La sezione aurea è in relazione con altri noti concetti matematici (per dirne uno, il rapporto fra due numeri consecutivi di Fibonacci tende a phi) e gode di molte proprietà formali. Mi limito a citarne una, poiché ci servirà più avanti:

phi2 = phi +1

Cioè: la sezione aurea al quadrato è pari a se stessa più uno.
L’attrattiva di phi va però oltre i suoi aspetti matematici. Ad esempio, è possibile ritrovarla in diverse manifestazioni naturali (il corpo umano, le spirali di alcune conchiglie, la disposizione dei petali di alcuni fiori, ecc.) e, secondo alcuni, godrebbe anche di proprietà estetiche, grazie alle quali l’occhio umano tenderebbe a preferirla ad altre proporzioni.sez_qurea
Non vi è dubbio che la sezione aurea abbia ricevuto notevole attenzione e che sia da molti ritenuta un numero dalle caratteristiche uniche, addirittura “divine”, stando a uno dei suoi molti appellativi. Tuttavia è lecito supporre che sia stata oggetto di un processo di “mitizzazione”, che na ha esagerato il fascino e la portata.
Innanzitutto, è un concetto molto più recente di quanto si crede: è vero che la sua prima definizione risale a Euclide, ma è col Rinascimento, in particolare con il De divina proporzione di Luca Pacioli, che inizia a ricevere le prime attenzioni, e solo a partire dal diciannovesimo secolo raggiunge la notorietà (il termine stesso di “sezione aurea” appare per la prima volta nel 1835, nel lavoro Die reine Elementar-Mathematik di Martin Ohm). Inoltre le sue corrispondenze col mondo naturale non sono onnipresenti: come qualcuno ha fatto notare, esistono anche fiori o conchiglie che non rispettano phi! Pure la sua presunta valenza estetica è da molti messa in discussione (per una rassegna degli studi di psicologia sperimentale in merito, si veda l’articolo del link in fondo alla bibliografia).
Comunque la si pensi, la sezione aurea rimane una delle costanti matematiche più famose e, come sarà chiaro fra poco, non la si può ignorare se si parla di matematica e antico Egitto.

La sezione aurea nella piramide di Cheope

Così come per il pi greco, anche la sezione aurea è riscontrabile nelle misure della piramide di Cheope. In particolare, è ottenibile dal rapporto fra l’altezza delle facciate (H) e il semilato della base (L/2):

pyramid_1Sappiamo dal primo post che la piramide era alta h=146.61 metri e che il perimetro P è 921.461 metri. Il semilato medio L/2 è quindi:

L/2 = P/8 = 921.461 / 8 = 115.183

Mediante il teorema di Pitagora, possiamo facilmente calcolare l’altezza media delle facciate (si tratta infatti dell’ipotenusa di un triangolo i cui cateti sono h e L/2):

H=[ (L/2)2 + h2]½ = 186.44,

constatando che in effetti:

H/(L/2) = 1.619

cioè la sezione aurea con un’approssimazione di due cifre decimali (la stessa approssimazione richiesta per il pi greco).
Dunque, proprio come nel caso dell’altra celebre costante matematica, sembra che una posizione “iper-scettica” (per usare uno dei termini della “mappatura” delle opinioni proposta nel post precedente) non sia ammessa e che, nei fatti, la sezione aurea sia riscontrabile nelle proporzioni della Grande piramide.
Coincidenza?
Frutto di una precisa volontà dei costruttori della piramide?
Risultato indiretto di qualche altra circostanza?
Lo scopriremo col prossimo appuntamento di Formule e parole… Saluti stocastici!

Riferimenti bibliografici


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