La probabilità del refuso – parte 6 (il limoncello offerto dalla casa)

di Stefano Sampietro
 

dadiSi conclude qui il ciclo di articoli sulla probabilità del refuso. La conclusione che ho scelto, a dimostrazione che la rete è davvero qualcosa di interattivo, mi è stata “suggerita” da un commentatore anonimo di un precedente post (parte 3).

La formula che abbiamo utilizzato fino ad adesso, vale a dire la funzione di probabilità di una variabile binomiale:

                Prob (x refusi in N parole) =    {N! / [(N – x)! x!]} (1-p) N-x px                                 
 

risulta piuttosto laboriosa, soprattutto per valori elevati di N. Se pensiamo al numero di parole che può contenere un romanzo o un saggio, calcolare i fattoriali e le potenze presenti nella formula può costituire un’operazione improba e numericamente instabile (provate a calcolare 0.12 elevato alla 200’000 e poi ditemi). Inoltre, calcolare probabilità composte come nella domanda 2, cioè che coinvolgono diverse probabilità da sommare, rischia di essere un lavoro estremamente pesante. Non ne parliamo poi se adottiamo l’impostazione di considerare i caratteri e non le parole (vedi parte 4).

La soluzione è adottare un’altra variabile aleatoria note come “distribuzione di Poisson”, dal nome del matematico Simeon Denis Poisson (1781 – 1840). Si può dimostrare che per valori elevati di N, la Poisson è una buona approssimazione della binomiale. Senza ovviamente entrare in dettagli tecnici, quello che operativamente occorre fare è sostituire alla formula della binomiale la seguente:

Prob (x refusi in N parole) =    [(Np)x e-Np ] / x!                      

 dove e è il numero di Nepero (2.7183).

Con gli stessi dati del nostro quiz, quindi N=50 e p=0.08, l’approssimazione che si compie è già molto buona, come dimostra il seguente grafico delle probabilità dei refusi calcolate con la Poisson (da confrontare con quello della binomiale nel post precedente):

poisson

La distribuzione di Poisson è detta anche “legge degli eventi rari”: trovo quindi che impiegarla nel calcolo della probabilità di un refuso sia di buon auspicio!

Con il prossimo appuntamento di “Formule e parole” cambieremo argomento… ma non voglio anticipare nulla! Per il momento, saluti stocastici!

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