La probabilità del refuso – parte 5 (il conto)

di Stefano Sampietro
 
dadi
Nell’ultimo post, ci eravamo lasciati con il quiz. Ecco le soluzioni:
 
Domanda n.1: 1.547%
Si trattava di calcolare la probabilità che il testo non contenesse alcun refuso, quindi:
 
Prob (x=0 refusi in N =50 parole) = {N! / [(N – x)! x!]} (1-p) N-x px =
                                                 = {50! / [(50 – 0)! 0!]} (1-0.08)50-0 0.080 =
                                                             = [50! / 50!] 0.9250 = 0.9250 = 0.01547
 
Domanda n.2: 42.55%
L’evento “numero di refusi inferiore a 4” corrisponde a quattro differenti casi (x=0, x=1, x=2 e x=3) quindi occorre sommare le corrispondenti probabilità:
 
Prob (x<4 refusi in N =50 parole) =  Prob (x=0 refusi in N =50 parole) +
                                                     Prob (x=1 refusi in N =50 parole) +
                                                     Prob (x=2 refusi in N =50 parole) +
                                                     Prob (x=3 refusi in N =50 parole) =
                                                     = 0.01547 + 0.0672 + 0.1432 + 0.1993 = 
                                                     = 0.4255
 
Domanda n.3:
Come già abbiamo evidenziato, x può assumere qualsiasi valore tra 0 e N (in questo caso tra 0 e 50) e per ognuno di questi valori è possibile calcolare la corrispondente probabilità. Naturalmente, sommando tutte queste probabilità si ottiene 1. Ho riassunto tutti i valori nel seguente grafico (sull’asse orizzontale leggete le x e su quello verticale le probabilità):

graf_bino

Si vede come il numero di refusi più probabile sia x=4.
Non solo: si dimostra che 4 è anche il cosidetto “valore atteso” per x. Se prendete tutti i possibili valori della x e ne fate una media ponderata alle loro probabilità (in modo da “pesare” i valori secondo il loro grado di plausibilità), otterrete 4.
In generale, il valore atteso per una N e una p qualsiasi è:    
                Valore Atteso (numero di refusi) = Np
 
che, se ci pensiamo, è estremamente intuitivo: se p è la probabilità che una singola parola sia un refuso e in totale abbiamo N parole, allora moltiplicando p per la N abbiamo la percentuale “attesa” di parole sbagliate sul totale.
Prima di chiudere l’argomento della probabilità dei refusi, c’è ancora un risultato che merita di essere esposto… al prossimo post!
Saluti stocastici.
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