La probabilità del refuso – parte 3 (La ricetta: secondo piatto)

di Stefano Sampietro
 
dadi
Riprendiamo il nostro esempio delle tre parole e della frase “Io sono Leggenda”. Quanto abbiamo calcolato nel post precedente era la probabilità di scrivere una parola corretta e due refusi (ad esempio “Io sonno Leggienda”) in un dato ordine: in particolare, la prima parola era corretta, la seconda era un refuso e la terza un refuso.
Ricorderete che la formula generale per fare ciò era:
(1-p) N-x px                                                                                                                                                      3.1
che applicata al nostro esempio forniva:
(1-p) N-x px  = (1-0.12)1 0.122 = 0.881 0.122 = 0.0127
Chiediamoci ora una cosa leggermente diversa: qual è la probabilità di scrivere una parola corretta e due refusi in un ordine qualsiasi? Osserviamo innanzitutto che, date tre parole, le combinazioni di 1 corretta e 2 refusi sono le seguenti:
1) parola corretta + refuso + refuso
2) refuso + parola corretta + refuso
3) refuso + refuso + parola corretta
La combinazione numero 1 è quella del nostro esempio, ma come vediamo ce ne sono altre due. Questo significa che per calcolare la probabilità di due refusi in posizione qualsiasi, dobbiamo considerare tutte le combinazioni e sommarne le probabilità.
Sappiamo già che la combinazione numero 1 ha una probabilità di 0.0127, ma che probabilità hanno le altre due? Risposta: la stessa. Infatti, se applicate la formula, arriverete sempre al risultato di 0.0127. In effetti, nel calcolare la probabilità di una particolare sequenza, l’ordine non ha importanza, ciò che conta è il numero di refusi totali (per fare un altro esempio, se lanciate una moneta tre volte, la probabilità di ottenere 2 teste e 1 croce è sempre la stessa, sia che consideriate la sequenza “testa-testa-croce”, quella “testa-croce-testa” o ancora “croce-testa-testa”).
Da tutto ciò segue che la probabilità di scrivere “Io sono leggenda” con due refusi è:
            0.0127 + 0.0127 + 0.0127 = 3 × 0.0127 = 0.038
Dunque, abbiamo visto che per calcolare la probabilità di avere x refusi in un testo di N parole (che è la domanda da cui siamo partiti) dobbiamo prendere la probabilità di una singola sequenza (la formula 3.1) e moltiplicarla per il numero delle sequenze possibili. Come facciamo a sapere in generale quest’ultima informazione? In altre parole, come calcolare il totale di combinazioni possibili dato il numero di parole N e il numero di refusi x? Grazie al “coefficiente binomiale”:
N! / [(N – x)! x!]                                                                                                           3.2
Per chi non lo sapesse, il punto esclamativo della formula rappresenta l’operatore matematico detto “fattoriale”. Il fattoriale di un numero è il risultato della moltiplicazione tra quel numero, quello precedente, quello precedente ancora e così via fino a 1. Ad esempio, il fattoriale di 3 è 3! = 3 ×2 ×1 = 6. L’altra cosa da sapere sui fattoriali è che, per convenzione, il fattoriale di zero non è 0 ma 1.
Il coefficiente binomiale quindi è una frazione al cui numeratore c’è il fattoriale del numero totale delle parole del testo (N!), mentre al denominatore c’è il prodotto tra il fattoriale del numero delle parole corrette ((N-x)!) e il fattoriale del numero dei refusi (x!).
Nel nostro esempio, abbiamo già visto che le combinazioni possibili di due refusi su tre parole sono tre; infatti:
            N! / [(N – x)! x!] = 3! / [(3-2)! 2!] = 3! / (1! 2!) = (3 × 2 × 1) / (1 × 2 × 1) = 6 / 2 = 3
Il coefficiente binomiale appartiene a quella branca della matematica nota come “calcolo combinatorio”. Il calcolo combinatorio si occupa di “contare” in quanti modi differenti si possano combinare fra loro (con un dato ordine oppure no) gli elementi di un insieme. Esempi di problemi di tipo combinatorio sono: quanti sono gli anagrammi della parola “LIBRO”? Quanti sono i possibili risultati che ottengo lanciando un dado tre volte? Quante sono le possibili schedine che si possono compilare al totocalcio? E così via.
Per chi volesse approfondire lo studio di questo tipo di problemi, e quindi anche capire la formula del coefficiente binomiale, invito quindi la lettura di un testo di calcolo combinatorio o di introduzione al calcolo delle probabilità.
Siamo finalmente in grado di scrivere la formula che risponde alla domanda da cui tutto è cominciato; moltiplicando la 3.1 con la 3.2, abbiamo la probabilità che in un testo di N parole ci siano x refusi:
Prob (x refusi in N parole) =   { N! / [(N – x)! x!] } (1-p) N-x px                                              3.3
Bella, vero? Questa formula è nota in statistica come la funzione di probabilità di una variabile casuale “binomiale”. Con questa annotazione si chiude il post di oggi. Nel prossimo post: la conclusione!
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